時空幾何與四維物理－－引論

引言－－不得不說的廢話

　　 相對論無疑是大衆最耳熟能詳的科學概念之一。 然而，儘管科普讀物多如牛毛，依然無法褪去其神祕的面紗。 大衆對相對論是什麼卻缺乏應有的基本認識，甚至誤以爲相對論就是說“一切都是相對的”。 而誤解的源頭不是別個，正是其名稱：“相對論”。這是個十分不恰當的名稱。 事實上，這個名稱並非愛因斯坦所創，而是來源於周圍的人。 而他們發明這個名稱時，並不真正理解愛因斯坦的理論。 梁燦彬教授曾打趣：相對論不應該叫“相對論”，而應該叫“絕對論”。 因爲相對論的基本研究方式，是忽略那些相對的東西（比如同時性，測量長度）， 而關注那些絕對的事物（譬如四維動量，固有長度）。

　　 筆者決心要棄用這個壞名稱，而改用恰當的稱呼。 事實上，所謂相對論，研究的是兩個內容： 四維的時空（Space-Time）幾何，與四維時空中的物理學。 我們不妨稱祂們爲“時空幾何”、“四維物理”， 合稱“時空幾何與四維物理”，簡稱“時空物理”，以取代“相對論”一詞。 以上爲橫向拆分，時空幾何爲基礎，四維物理爲上層建築。 而縱向拆分，又可分爲平直時空物理、彎曲時空物理， 即常說的“狹義相對論”、“廣義相對論”。 筆者將一貫使用“時空幾何”、“四維物理”、“時空物理”、“平直-”、“彎曲-”等稱謂。

　　 讀者或許會認爲筆者總喜歡脫離主流，走偏門奇路， 或是自己生造一些未被公認的詞彙， 或是選取一些與主流不同的約定（比如約定 c=i 而非主流的 c=1 ）。 是的，我承認自己有些特立獨行，但只在這麼做有足夠好處時。 如果完全遵循前人走過的路，你也將錯過前人所錯過的。 我所做的不是創新，而只是從別的（筆者認爲更好的）角度來審視事物。 當然，這與“民科”（指不具備基本科學素養的科學愛好者）的天馬行空不同， 我們必須在角度清奇的同時，時刻保持嚴謹的態度。 以下是我特立獨行的理由：

• “時空幾何與四維物理”是比“相對論”更準確的說法，而使用這種準確稱呼是避免大衆誤解的必由之路。
• c=1 的時空幾何必須使用更加“高等”的幾何來解決問題；而約定 c=i，則可用中學生都會的初等幾何深刻地討論平直時空幾何。

　　 此外，我也不打算重走歷史上的發現之旅。 這樣的書和文章數不勝數，沒有再多我這一篇的必要。 我們有一百多年的時間優勢，完全可以從其它角度來思考，走不同的思路。 相信一定會有新的啓發。

位置－時間圖的特殊性

　　 相對性原理說運動是相對的，不，這是個誤解。相對性原理只說了靜止和勻速直線運動之間是相對的。 我們決不能隨意外推到加速運動上。 絕對的靜止是不存在的。 讓我們假想這麼一個場景：你生活在一個太空城，這個太空城漂浮在廣袤的宇宙中，遠離任何一個星系。而我的飛船與你擦肩而過。 你認爲你是靜止的，而我開著飛船在勻速滑行；而我卻認爲我並沒有踩油門，是靜止的，是你在勻速向後飛去。 爲了避免爭論不休，我們於是開始用實驗來區分誰纔是靜止的。望遠鏡目前是指望不上了，我們現在遠離任何星系，而星系都在運動。 微波背景輻射也被三體人或者別的甚麼生物給屏蔽了。我們只好作本地實驗，從檯球碰撞，到粒子對撞，還包括邁克爾遜－莫雷的光干涉實驗。 最終的結果都是一樣的，咱倆誰也不比誰特殊，所謂靜止，不過是我們主觀給自己的認定。客觀上，咱倆並沒有靜止和勻速直線運動之分。

　　 在研究事物變化時，我們常常使用一種坐標圖來形象描述。以時間爲自變量軸，以所研究的物理量爲另一條軸。 比如溫度－時間關係圖、位置－時間關係圖、速率－時間關係圖等等。 你爲了研究我飛船的運動，畫起了位置－時間關係圖。你也是個喜歡偶爾背離主流的人，這次選擇縱坐標爲時間，橫坐標爲位置。

　　 如圖，你認爲自己是靜止的，圖像與 t 軸重合（紅色）。而我則在勻速運動，因此圖像爲一條斜線，由於沒有加速，因此圖像至少是直線（藍色）。 你的一段紅線，由於與 t 軸重合，所以代表一段時間。由於相對性原理，我們之間是平等的。那麼我的一段藍線也應該代表一段時間。 這就有趣了。一般物理量－時間圖像中的斜線，是沒有特定意義的。比如溫度－時間圖像，斜線本身段並不代表任何物理意義， 既不是一段時間，也不是一段溫度。其他諸如速度－時間圖像、加速度－時間圖像等等，無不如此。唯有位置－時間圖像（不失一般性後文稱 x-t 圖像），十分特殊。 另一個豎直線段與斜線段代表相同物理意義的坐標是 x-y 坐標。 另一方面，我們也可以認爲，你是選取了自己運動的軌跡爲 t 軸。 而若換做我畫 x‘-t’ 圖像，則 t’ 軸一定是沿着我的軌跡，而你的軌跡則傾斜。 而相對性原理告訴我們你的 x-t 圖和我的 x’-t’ 圖，是平等的。 這應該是某種坐標變換。另一個存在坐標變換的系統是 x-y 坐標。 x-t 與 x-y，二者似乎有內在的共同點。

　　 這裏可引出一些疑問：豎直線和像這樣的斜線代表一段時間，而水平線代表一段空間， 是否所有斜線段都代表一段時間？是否也有代表一段空間的斜線段？時間和空間的分界在哪？ 直線段與斜線段都是一段時間，那麼它們之間如何比較長度？ x-t 到 x’-t’ 的變換是什麼樣的呢？會不會像 x-y 到 x’-y’ 的變換？ x 軸和 x’ 軸重合嗎？

　　 讀到此處，請讀者停下來思考。先別急着思考這些問題的答案，而是先思考如何提出問題。 萬事開頭難，從現象中抽取規律，並提出好的問題，是科學發現的第一步。 愛因斯坦當年，便是從提出如果追著一束光飛行會怎麼樣開始，窺探到了時空幾何的奧祕。 比起問題本身，筆者更想要分享的，是發現斜線與豎直線平等，以及由此提出這些問題的思維方式。 筆者的這些問題，你是否也有想到呢？此外，你是否還想到了更多問題？

反思空間的性質

　　 然後，我們來思考這些問題。光是盯着問題本身思考，往往很難得到答案。我們需要更開闊的視野和一些深層的洞見。 類比 x-t 與 x-y，研究其共性，應該會對我們有幫助。此外，研究時間和空間本身所具有的性質能讓我們的認識更加深刻。 不要去思考“時間是甚麼”這樣的問題，這容易讓我們陷入迷茫； 更不要隨意回答這樣的問題，這往往得到片面的答案，就像盲人摸象。 應該思考“時間具有什麼性質”、“它與其它事物有甚麼關係”這樣的問題， 這才能實質性地提供建設性，並且保持不同角度看事物的可能性。 空間有什麼性質？首先，它具有平移不變性：左邊的一米，和右邊的一米是一樣的；樓上的一平方米，和樓下的一平方米是一樣的。 這個平移還可以是在時間方向上：昨天的一米和今天的一米是一樣的。 其次，它具有旋轉不變性：東西方向的一米，和西北偏北的一米是一樣的。 時間具有什麼性質？它恆定流動，永不回頭。永不回頭這一點，在我們研究到熱之前沒有甚麼幫助，暫時放一旁。 恆定流動，換成一個剛纔用過的說法，在時間方向上平移不變性：今天的一秒和昨天的一秒是一樣的。 此外，還有空間方向的平移不變性：家裏的一秒和街上的一秒是一樣的。 而前面，根據相對性原理，我們還發現時間還可以向空間方向傾斜，並且保持某種不變性。 傾斜，其實就是某個範圍內的旋轉，也許還疊加了某種程度的縮放。

　　 以上特點中有一個非常優美的性質－－“線性”。 一個方向的空間是線性的，不同方向的空間之間是線性的，時間是線性的，時間和空間之間也是線性的。 這實在是太棒了，線性，意謂着數學上的簡單性，大家都喜聞樂見。 我們回憶中學所學的平面直角坐標系變換，由於空間的線性，一定可以寫爲：

$\begin{cases} x' = a_{11}x + a_{12}y + \Delta x \\ y' = a_{21}x + a_{22}y + \Delta y \end{cases}$

　　 Δx 和 Δy 表示兩個坐標系原點的差異，如果兩個坐標系原點重合，可以將它們消掉。寫爲：

$\begin{cases} x' = a_{11}x + a_{12}y \\ y' = a_{21}x + a_{22}y \end{cases}$

　　 其中， $\begin{bmatrix} a_{11}, a_{12} \\ a_{21}, a_{22} \end{bmatrix}$ 這四個參數構成一個變換矩陣，但是我們先不從這個角度思考， 而是着眼於兩個坐標系的平等性。 考慮到這一點，逆變換也應當具有相同形式

$\begin{cases} x = b_{11}x' + b_{12}y' \\ y = b_{21}x' + b_{22}y' \end{cases}$

並且，若我們都用相同的長度單位，還會有： $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = b_{11}b_{22} - b_{12}b_{21} = 1 \\ a_{11} = b_{11} = a_{22} = b_{22} \\ a_{12} = -b_{12}$ 否則，將破壞平等性。 （中間的數學推導從略。對於懂得線性代數的朋友，這兩個結論顯而易見。 不懂線性代數的朋友，也能用簡單的加減乘除推導， 加上適時使用兩個坐標系的平等性得到。正好作爲練習。 要體會物理的美，是繞不開數學的。）

　　 爲了簡化，我們記 $\alpha = a_{11}$ ， $\beta = a_{12}$ 可得：

$\begin{cases} x' = \alpha x + \beta y \\ y' = \frac{\alpha^2-1}{\beta} x + \alpha y \end{cases} \qquad \begin{cases} x = \alpha x' - \beta y' \\ y = -\frac{\alpha^2-1}{\beta} x' + \alpha y' \end{cases}$

　　 至此，我們將八個參數簡化爲兩個。比起 α 和 β， 我們更希望通過坐標之間的幾何量作爲變換式的參數。 由於兩個坐標系原點的重合，又默認都是右手系， 因此它們的關係由從 x 到 x’ 的角唯一確定。 我們記這個角爲 θ，需要注意，這個角是有方向的。 我們取 x’ 軸上的點 A，記其在兩個坐標系下的坐標分別爲 $(x_A,y_A)$ $(x_A',y_A')$ 。由於 A 點在 x’ 軸上，有： $\begin{cases} y_A' = 0 \\ \frac{y_A}{x_A} = \tan(\theta) \end{cases}$ 將其代入 $y' = \frac{\alpha^2-1}{\beta} x + \alpha y$ ，並消去 A 相關的部分，可得： $\begin{cases} \frac{\alpha^2-1}{\beta} = -\alpha \tan(\theta) \\ \beta = \frac{1-\alpha^2}{\alpha \tan(\theta)} \end{cases}$ ，於是變換式又簡化爲： $\begin{cases} x' = \alpha x + \frac{1-\alpha^2}{\alpha \tan(\theta)} y \\ y' = -\alpha \tan(\theta) x + \alpha y \end{cases} \qquad \begin{cases} x = \alpha x' - \frac{1-\alpha^2}{\alpha \tan(\theta)} y' \\ y = \alpha \tan(\theta) x' + \alpha y' \end{cases}$

　　 再通過角的可加性，我們可以最終確定 $\alpha = \cos(\theta)$ ，過程與本文主題無關，從略。這是我們在中學就知道的事實。 寫成矩陣，就是 $\begin{bmatrix} \cos(\theta), \sin(\theta) \\ -\sin(\theta), \cos(\theta) \end{bmatrix}$ ，利用矩陣的指數和對數運算，我們還能寫成更漂亮的形式 $\Large{e}^{ \small \begin{bmatrix} 0, \theta \\ -\theta, 0 \end{bmatrix} }$ ，這是個重要的形式，裏面蘊含關於旋轉的深刻原理， 對於理解彎曲時空的黎曼曲率有很大幫助， 恰當的時候，會單獨開篇討論。

類比到時間－空間平面

　　 回顧以上，我們使用了空間坐標系的線性和平等性，得到了包含兩個待定參數的了坐標變換式。 只要確定了參數，便可以研究 x-y 平面上的各種問題。 同樣地，我們也希望找到 x-t 到 x’-t’ 的變換。 根據線性，我們同樣可以寫出： $\begin{cases} t' = a_{00}t + a_{01}x + \Delta t \\ x' = a_{10}t + a_{11}x + \Delta x \end{cases}$ 同樣，我們可以讓坐標原點重合消去 Δt 和 Δx，具體操作就是以我們相互飛過時作爲時間的 0 點， 交匯點爲空間原點（當然，爲了簡化，我們把咱倆都看作是質點，並相互無限接近地飛過）。 再根據相對性原理，我們也能得到時空坐標的平等性。於是可同樣簡化爲： $\begin{cases} t' = \alpha t + \beta x \\ x' = \frac{\alpha^2-1}{\beta} t + \alpha x \end{cases}$

接着，我們也能在 t’ 軸上取一點 A，坐標分別爲 $(t_A,x_A)$ $(t_A',x_A')$ 。由於 A 點在 t’ 軸上，有： $\begin{cases} x_A' = 0 \\ \frac{x_A}{t_A} = v \end{cases}$ 。其中 v 爲 x’-t’ 系相對於 x-t 系的速度。 和空間的情形完全一致，只是 tan(θ) 換成了 v。通過相同的步驟，我們可將變換式簡化爲： $\begin{cases} t' = \alpha t + \frac{1-\alpha^2}{\alpha v} x \\ x' = -\alpha v t + \alpha x \end{cases} \qquad \begin{cases} t = \alpha t' - \frac{1-\alpha^2}{\alpha v} x' \\ x = \alpha v t' + \alpha x' \end{cases}$

當我們侷限於視野

　　 然後，我們需要做的，就是確定參數 α。 線性和相對性原理，只能帶我們走到這裏。 我們需要更多的基本原理－－或者說“公設”－－才能繼續。 以我們的日常生活經驗，和實驗室中能進行的力學實驗，應當有： $x' = x - v t$ 通過取 $\alpha = 1$ 便可做到這一點。 代入變換式得： $\begin{cases} t' = t + 0 x \\ x' = - v t + x \end{cases}$ 這便是伽利略變換，在很高的精度下正確。 誰也沒有見過誰的表運動著，就變快或變慢了，誰也沒有見過什麼東西運動著，長度就變了。

　　 現在，我們可以來回答之前那些問題了： 豎直線段和斜線段都代表一段時間，只有水平（至少要非常接近水平）的線段才代表一段空間。 時間與空間的分界就在於是否是水平（非常接近水平）的。 對於一個時間段，只要分別沿着其兩個端點作水平線，兩條水平線之間的距離即時間長度（偏差非常小）。 x-t 到 x’-t’ 的變換與 x-y 到 x’-y’ 的變換不同，參數（幾乎）是常量而非變量。 它像一種斜切變換，而不像轉動，因爲 x 軸始終（幾乎）不動。 x 軸和 x’ 軸（幾乎）是重合的。 由於經驗所確定的參數並不能精確地確定爲 1 和 0，我們還不能把話說死，需要括號裏那些有所保留的話。 如果這組參數是精確的，即伽利略變換精確成立。那麼，我們將得到一幅十分怪誕的幾何圖景。 沒有轉動，而是斜切變換。水平方向和其它方向如此不同，而且是跳躍式的變化，只要稍稍有那麼一點傾斜，立即從空間變爲時間， 而且其長度與原來的空間長度毫無關係。雖與我們的世界的情形十分吻合，圖景本身卻毫無美感可言。 比起 $\Large{e}^{ \small \begin{bmatrix} 0, \theta \\ -\theta, 0 \end{bmatrix} }$ 這樣優美的矩陣， $\begin{bmatrix} 1, v \\ 0, 1 \end{bmatrix}$ 就顯得十分突兀，有某種無窮大在其中。 宇宙真的是這樣醜陋的嗎？ （看問題的角度不同，審美也會不同。 牛頓和十九世紀的開爾文勳爵可不認爲這醜陋。 亦或許是因爲他們的年代早於愛因斯坦， 還沒有機會體會真正美麗的時空幾何。）

電磁場攪局，打開新的視野

　　 伽利略變換在很高的精度下正確，無論是我們的日常生活， 還是實驗室中的各種力學實驗，全都精確符合。 可偏偏有一種物質，完全不符合此變換。這個怪胎就是電磁場。 它遵循麥克斯韋方程組，那是四個優雅的方程，與伽利略變換水火不容。 一定有一個是錯的，至少是不準確的。 從十九世紀末到二十世紀初的物理學家們，大都選擇修改電磁場理論。 爲此，他們引入以太來代替真空作爲電磁場的介質。 然而，一切實驗都證明了以太是莫須有的。 修改麥克斯韋理論的嘗試，是失敗的。看起來，只能修改伽利略變換了。 洛倫茨是第一個吃螃蟹的。他提出了著名的洛倫茨變換。 可是，他顯然不知道他的變換意謂着什麼。 這其中深刻的道理，還要等愛因斯坦和閔可夫斯基來解讀。

　　 站在馬後炮視角，我們看問題可就明朗多了。 麥克斯韋方程組，十分優美；而伽利略變換，則是醜陋的。 只要是按照我們上一節的思路得到伽利略變換， 我們就一定會首先想到修改伽利略變換，而非麥克斯韋理論。 我們得到伽利略變換的最後一步，是確定變換式的兩個參數。 這一步，是根據片面的實驗（力學實驗，而無電磁學實驗）所得。 我們不妨拋棄這裏的公設，重新確定兩個參數。 這也是對伽利略變換的最小化修改，我們保留了時空的線性（萬幸萬幸）， 以及相對性原理。

　　 筆者不打算在這裏講麥克斯韋方程組，和一般的電磁場，那樣需要太多篇幅。 這裏，只取用真空中電磁波的速率爲恆定值 c 這一個推論。如果時空變換與麥克斯韋方程組兼容， 那也必然與這個推論相容。我們可先用此推論找出變換，再回頭驗證麥克斯韋方程組（這也是當年愛因斯坦的做法）。 約定俗成，我們稱 c 爲光速（不加說明，“光速”一律指真空光速，介質中光傳播的速率必須有“某某介質中的”定語，不可簡稱“光速”）。 根據相對性原理，所有的慣性系下，應當遵循同一個麥克斯韋方程組，於是也就有同一個光速。 光，是一種電磁波，不失一般性，我們就以光來進行討論。

　　 我們回到參數確定之前： $\begin{cases} t' = \alpha t + \frac{1-\alpha^2}{\alpha v} x \\ x' = -\alpha v t + \alpha x \end{cases}$ 如果有一束光，在時空原點向前發射。在你的參考系下，經過了 τ 時間，應到達 cτ 位置。 假設在我的參考系，是經過了 τ‘ 時間，那麼也應到達 cτ’ 位置。代入變換可得： $\begin{cases} \tau' = \alpha \tau + \frac{1-\alpha^2}{\alpha v} c \tau \\ c \tau' = -\alpha v \tau + \alpha c \tau \end{cases}$ $\begin{cases} c \tau' = \alpha c \tau + \beta \tau \\ \tau' = \frac{\alpha^2-1}{\beta} c \tau + \alpha \tau \end{cases}$ 同時消去 τ 與 τ’，加上 α 取正數，我們得到 $\alpha = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ ，代入變換式得： $\begin{cases} t' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} t - \frac{v}{c^2 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} x \\ x' = - \frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} t + \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} x \end{cases}$ 這便是洛倫茨變換。乍看之下，完全體現不出任何美感。問題在於我們選了速率作爲參數。 速率是伽利略變換下的好參數，在伽利略變換下，速度具有可加性。 在洛倫茨變換下，則不然。可加性丟失了，意謂着它不再是一個好的參數。 對比我們推導空間變換和時空變換的過程。空間變換中，我們使用角 θ 作爲參數，過程中有個關鍵的 $\tan(\theta)$ 而到了時空變換中，我們將 $\tan(\theta)$ 換成了 v。若我們在空間變換中也使用 v 代替 $\tan(\theta)$ 會如何呢？我們會得到： $\begin{cases} x' = \frac{1}{\sqrt{1 + v^2}} x + \frac{v}{\sqrt{1 + v^2}} y \\ y' = - \frac{v}{\sqrt{1 + v^2}} x + \frac{1}{\sqrt{1 + v^2}} y \end{cases}$ 是不是像極了洛倫茨變換？若使 $c^2 = -1$ ，二者將完全一致。我們仿造空間中的角，定義時空角，將 v 換爲 $\tan(\varphi)$ 。

這樣，洛倫茨變換竟被我們化簡爲： $\begin{cases} t' = \cos(\varphi) t + \sin(\varphi) x \\ x' = - \sin(\varphi) t + \cos(\varphi) x \end{cases}$ 我們發現：時間與空間滿足同一個幾何學。如此完美！

有虛數的世界

　　 需要指出，以上得到的熟悉的變換式，並不像表面上看起來那麼熟悉。因爲選取 $c^2 = -1$ ，勢必要引入複數。我們不妨取 $c = i$ ，無量綱。這意謂着我們將時間和空間的量綱進行了統一，並定義了時間單位和空間單位的換算關係。 具體地，有： $1 光年 = i 年 \\ 1 s \approx -3.0i \times 10^8 m \\ ...$ 。我們看到時間與空間一虛一實，若使用時間單位，則空間爲虛數，若使用空間爲單位，則時間爲虛數。 正切值，也就是速率，爲實數與虛數之比，爲虛數。於是，時空角通常也爲虛數。 因此，三角函數也不再是熟悉的實變三角函數，而是複變三角函數。會有 $\cos(\varphi) > 1$ ， $\sin(\varphi)$ 和 $\tan(\varphi)$ 爲虛數，失去週期性（準確地說，是在我們關注的方向上沒有週期性）等等。 這個既熟悉有陌生的變換式，將會爲我們開啓一個既熟悉又陌生的幾何世界。 後面的篇章，將帶來複變三角函數的充電寶。待充電完畢，我們來遊覽這個有趣的幾何世界。

　　 物理學家常常定義一個常數爲無量綱數，來統一不同的量綱。 比如定義波爾茨曼常數爲 1 以統一溫度與能量的量綱等等。 主流做法是定義 c = 1，實際上是等價的，所有實在的結論都沒有任何不同。 但那樣的幾何圖景，遠不如 c = i 來得簡潔優美。 依我看，選擇 c = 1 的人除了從衆以外，就是爲了避開虛數。 但他們避開了虛數坐標，卻避不開虛數的線元和角度。 拿到了負數的線元，他們不敢開方。甚至完全避開角度不談， 或只談純虛數角度的虛部（是個實數，被命名爲快度）。 對實實在在的事物視而不見，看到的世界便不完整。 讓我們擁抱複數，擁抱完整的世界。