回顧實三角函數

　　 從名字來看，我們有把握肯定，三角函數最初是源自於三角形，也即源自於幾何學。 而在幾何中，三角函數，是一組關於角和邊的關係。因此，我們首要的任務， 就是找到一個合適的方法，來度量角的大小。

角的度量

　　 我們不難發現，角的性質與長度是很像的。我們可以用紙片剪出兩個角，拼在一起進行加法， 疊在一起比較大小，對疊後沿着邊線剪上一刀進行減法，還能用對折的方法將一個角平分，或是幾等分。 我們嘗試用一個圓規，在這些小紙片上畫一些弧線，讓它們的圓心都在角的定點，並且半徑都相同。 我們發現，當我們將兩個角相拼的時候，弧線也拼成了更長的弧線。將角剪開的時候，弧線也按照相同的比例被切割。 看起來，弧線的長短，似乎可以代表角的大小。更嚴謹一點，即，角的大小，和弧線的長短成正比。 很顯然，弧線的長短還和半徑有關。對於同一個角，半徑越大，顯然弧線會越長。但是弧長與半徑的比總是恆定的。 理所當然地，我們就以這個比值表示角的大小： θ=sr \theta = \frac{s}{r} 現在，我們能夠描述出任意角的大小了。我們發現所有的直角，大小都是一樣的（這是當然的， 否則說明我們的度量方法有問題）。它們的大小約等於 1.57，而平角則約等於 3.14，週角則約爲 6.28。 數學家的工作表明：這些數字都是無理數，並且是超越數。我們把平角的大小叫做“圓週率”（也許叫“半圓週率”更合適吧）， 記爲 π\pi。筆者習慣於使用週角的大小，將其記爲大寫的 Π\Pi，即 Π=2π\Pi = 2\pi，稱爲“全圓週率”。

單位圓與三角函數

　　 三角函數的幾何定義，是直角三角形中某兩條邊的比。 如果結合單位圓，我們能夠以一些線段的長度來表示三角函數：

θ sin(θ) cos(θ) tan(θ) cot(θ) csc(θ) sec(θ)

影子與三角函數

三角函數的數學性質

　　 我們來溫習三角函數之間的關係： sin⁡(θ)2+cos⁡(θ)2=1sec⁡(θ)2−tan⁡(θ)2=1csc⁡(θ)2−cot⁡(θ)2=1tan⁡(θ)cos⁡(θ)=sin⁡(θ)sin⁡(θ)cot⁡(θ)=cos⁡(θ)cos⁡(θ)csc⁡(θ)=cot⁡(θ)cot⁡(θ)sec⁡(θ)=csc⁡(θ)csc⁡(θ)tan⁡(θ)=sec⁡(θ)sec⁡(θ)sin⁡(θ)=tan⁡(θ)tan⁡(θ)cot⁡(θ)=1sin⁡(θ)csc⁡(θ)=1cos⁡(θ)sec⁡(θ)=1 \begin{matrix} \sin(\theta)^2 + \cos(\theta)^2 = 1 & \sec(\theta)^2 - \tan(\theta)^2 = 1 & \csc(\theta)^2 - \cot(\theta)^2 = 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \tan(\theta) \cos(\theta) = \sin(\theta) & \sin(\theta) \cot(\theta) = \cos(\theta) & \cos(\theta) \csc(\theta) = \cot(\theta) \\ \cot(\theta) \sec(\theta) = \csc(\theta) & \csc(\theta) \tan(\theta) = \sec(\theta) & \sec(\theta) \sin(\theta) = \tan(\theta) \\ \tan(\theta) \cot(\theta) = 1 & \sin(\theta) \csc(\theta) = 1 & \cos(\theta) \sec(\theta) = 1 \end{matrix}

三角函數與雙曲函數

　　

複數的三角函數

歐拉公式帶來的啓示

　　 在指數指數一章中，我們介紹了歐拉公式： eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ) e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)

　　 一方面，该公式说明了虚指数的性质；另一方面，也表明了三角函数和指数函数的关系。 通過該公式，我們很容易能反過來得到： cos⁡(θ)=eiθ+e−iθ2 ,sin⁡(θ)=eiθ−e−iθ2i \cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,, \qquad \sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} 對比雙曲函數的定義： cosh⁡(x)=ex+e−x2 ,sinh⁡(x)=ex−e−x2 \cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \,, \qquad \sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} 我們發現二者有十分相似的結構，而且都與指數函數密切相關。兩組函數之間的相似性得到了解釋。

　　 由於指數函數良好的解析性，我們能輕鬆地將三角函數和雙曲函數都推廣到複數域： cos⁡(z)=eiz+e−iz2 ,sin⁡(z)=eiz−e−iz2icosh⁡(z)=ez+e−z2 ,sinh⁡(z)=ez−e−z2 \cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \,, \qquad \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \\ \cosh(z) = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} \,, \qquad \sinh(z) = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2} 二者有簡單對稱的關係： cos⁡(z)=cosh⁡(iz) ,isin⁡(z)=sinh⁡(iz)cosh⁡(z)=cos⁡(iz) ,isinh⁡(z)=sin⁡(iz) \cos(z) = \cosh(iz) \,, \qquad i\sin(z) = \sinh(iz) \\ \cosh(z) = \cos(iz) \,, \qquad i\sinh(z) = \sin(iz) 我們也可以寫出其它三角函數： tan⁡(z)=−ieiz−e−izeiz+e−iz ,cot⁡(z)=ieiz+e−izeiz−e−izsec⁡(z)=2eiz+e−iz ,csc⁡(z)=2ieiz−e−iz \tan(z) = -i\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{e^{iz} + e^{-iz}} \,, \qquad \cot(z) = i\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{e^{iz} - e^{-iz}} \\ \sec(z) = \frac{2}{e^{iz} + e^{-iz}} \,, \qquad \csc(z) = \frac{2i}{e^{iz} - e^{-iz}} 從指數函的解析性分析可得，三角函數在 ∞ 點以外，處處解析。 在 ∞ 點附近，情況通常與指數函數一樣複雜。

　　 會有不少人認爲只有實數的三角函數纔是對應於幾何的，複三角函數已經失去了幾何上的對應，不再與角、幾何有關。 這是錯誤的！是典型的井底之蛙視角。在複幾何中，角的大小就是複數，而那些根本的幾何規律，是相同的。 因此，自然就對應着複三角函數。

函數值的分析

　　 研究複函數的一個方法是將函數的實部和虛部分離。對於三角函數，我們可以通過和角公式以及與雙曲函數的關係，輕鬆做到這一點： cos⁡(a+ib)=cos⁡(a)cos⁡(ib)−sin⁡(a)sin⁡(ib)=cos⁡(a)cosh⁡(b)−isin⁡(a)sinh⁡(b) \begin{aligned} \cos(a + ib) &= \cos(a)\cos(ib) - \sin(a)\sin(ib) \\ &= \cos(a)\cosh(b) - i\sin(a)\sinh(b) \end{aligned} sin⁡(a+ib)=sin⁡(a)cos⁡(ib)+cos⁡(a)sin⁡(ib)=sin⁡(a)cosh⁡(b)+icos⁡(a)sinh⁡(b) \begin{aligned} \sin(a + ib) &= \sin(a)\cos(ib) + \cos(a)\sin(ib) \\ &= \sin(a)\cosh(b) + i\cos(a)\sinh(b) \end{aligned} 通過除法運算，我們又可以得到另外四個函數值。 tan⁡(a+ib)=sin⁡(a+ib)cos⁡(a+ib)=sin⁡(a)cos⁡(a)+isinh⁡(b)cosh⁡(b)cos⁡(a)2cosh⁡(b)2+sin⁡(a)2sinh(b)2 \begin{aligned} \tan(a + ib) &= \frac{\sin(a + ib)}{\cos(a + ib)} \\ &= \frac{\sin(a)\cos(a) + i\sinh(b)\cosh(b)}{\cos(a)^2\cosh(b)^2 + \sin(a)^2sinh(b)^2} \end{aligned} cot⁡(a+ib)=cos⁡(a+ib)sin⁡(a+ib)=sin⁡(a)cos⁡(a)−isinh⁡(b)cosh⁡(b)sin⁡(a)2cosh⁡(b)2+cos⁡(a)2sinh(b)2 \begin{aligned} \cot(a + ib) &= \frac{\cos(a + ib)}{\sin(a + ib)} \\ &= \frac{\sin(a)\cos(a) - i\sinh(b)\cosh(b)}{\sin(a)^2\cosh(b)^2 + \cos(a)^2sinh(b)^2} \end{aligned} sec⁡(a+ib)=1cos⁡(a+ib)=cos⁡(a)cosh⁡(b)+isin⁡(a)sinh⁡(b)cos⁡(a)2cosh⁡(b)2+sin⁡(a)2sinh(b)2 \begin{aligned} \sec(a + ib) &= \frac{1}{\cos(a + ib)} \\ &= \frac{\cos(a)\cosh(b) + i\sin(a)\sinh(b)}{\cos(a)^2\cosh(b)^2 + \sin(a)^2sinh(b)^2} \end{aligned} csc⁡(a+ib)=1sin⁡(a+ib)=sin⁡(a)cosh⁡(b)−icos⁡(a)sinh⁡(b)sin⁡(a)2cosh⁡(b)2+cos⁡(a)2sinh(b)2 \begin{aligned} \csc(a + ib) &= \frac{1}{\sin(a + ib)} \\ &= \frac{\sin(a)\cosh(b) - i\cos(a)\sinh(b)}{\sin(a)^2\cosh(b)^2 + \cos(a)^2sinh(b)^2} \end{aligned} 都能化爲實三角函數與雙曲函數的組合，這給我們的分析提供了便利。

常用的複角度

　　 我們會關心那些函數值爲實數的三角函數。通過與雙曲函數之間的關係 cos⁡(ix)=cosh⁡(x)\cos(ix) = \cosh(x)， 我們注意到：純虛數的 cos 就對應着實數的 cosh。因此結果是個實數，並且大於等於 1，當角的絕對值越大，餘弦越大， 當角的絕對值爲 0 時，餘弦爲 1。這就有趣了，回顧上面影子的例子，正午陽光下，平放的棍子影子長度爲 1 倍棍長， 傾斜一個角度 θ\theta 後，影子長度應爲 cos⁡(θ)\cos(\theta)， 我們的三維空間中，角總是實數，因此那影子的長度總是減小的。倘若棍子能夠以純虛數的角度傾斜，那麼影子的長度還是實數， 並且非但不收縮，反而會伸長。撬棍非但不能把縫隙撬寬，反而越撬越窄。這兩個例子顯然與我們的生活常識相悖。 類似的現象卻真實存在於我們的世界上。它們就是鐘慢與尺縮效應。

　　 我們有餘弦值大於等於 1 的角，也有餘弦值介於 -1 和 1 之間的角，還缺小於等於 -1 的。根據餘弦的補角關係 cos⁡(z)=−cos⁡(Π2−z)\cos(z) = - \cos(\frac{\Pi}{2} - z) 可得：當角爲 Π4+ib ,  b∈R\frac{\Pi}{4} + ib \,,\; b \in \reals 時，餘弦值爲小於等於 -1 的實數。

　　 我們知道正弦和餘弦之間有餘角關係 cos⁡(z)=sin⁡(Π4−z)\cos(z) = \sin(\frac{\Pi}{4} - z)， 因此，當角的大小爲 ±Π4+ib ,  b∈R\pm\frac{\Pi}{4} + ib \,,\; b \in \reals， 正弦將爲實數。

　　 通過三角函數的週期性可知，大小爲 nΠ4+ib ,  b∈R ,  n∈Nn\frac{\Pi}{4} + ib \,,\; b \in \reals \,,\; n \in \natnums 的角， 其正弦或餘弦爲實數。這些數在複平面上爲豎直等寬的平行線，與實數一起，形成了一個柵欄形狀。 這個“柵欄”，就是我們時空中角的取值範圍。我們不妨約定一些稱呼，以便討論。 我們將此“柵欄”的每一列冠以編號，虛軸爲第 0 列，往右依次爲第 1 列、第 2 列……往左依次爲第 -1 列、第 -2 列…… 由於最常用的角爲實軸、第 0、第 1、第 -1 以及第 2 列上的角，我們給予特殊稱呼：實軸上的角，自然叫“實角”； 虛軸上的角，就叫“虛角”；第 1 列上的角，稱爲“餘虛角”；第 -1 列上的角，稱爲“負餘虛角”；第 2 列上的角，稱爲“補虛角”。 這些稱謂能夠極大地方便我們對一些常用結論的描述：

  • 實角的餘弦和正弦介於 -1 和 1 之間；
  • 虛角的餘弦大於等於 1；
  • 補虛角的餘弦小於等於 -1；
  • 餘虛角的正弦大於等於 1；
  • 負餘虛角的正弦小於等於 -1；
  • 虛角和補虛角的正弦、正切爲純虛數，取值範圍爲整個虛軸；
  • 餘虛角和負餘虛角的餘弦、正切爲純虛數，取值範圍爲整個虛軸；
  • 當角沿着某一列的某一方向趨向 ∞ 時，正切的極限總爲 i 或 -i；
  • ……

以上這些，在時空幾何中，都是非常有用的。